原码、反码和补码之间的关系

• 机器数：一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号。正数为0, 负数为1。

比如：十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

• 真值：因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例如：上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

• 原码：原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值。

比如：如果是8位二进制:[+1]原 = 0000 0001 [-1]原 = 1000 0001 第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:[1111 1111 , 0111 1111]即[-127 , 127]。原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

• 反码：反码的表示方法是:正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 [-1] = [10000001]原 = [11111110]反可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

• 补码：正数的补码就是其本身.负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

Java中byte类型为什么是-128~127

• 现在我们知道了计算机中有3种编码方式表现一个数

对于正数[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补对于负数[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

• 由此可见，原码、反码和补码完全不同，既然反码和补码都难以被人们接受，那为什么还要有呢?
• 为了让计算机的运算更加方便，人们便设计出让它只做加法，不做减法，并且符号位也参与加法。
  • 如：1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
• 如果只让原码参与运算，对于负数，运算的结果显然不对。为了解决原码做减法的问题, 出现反码。
  • 1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
• 发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在”0”这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.
• 于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题
  • 1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 =[0000 0001]反 + [1111 1110]反= [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
• 这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128
  • (-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
• -1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)，使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127]。
• 因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。其他类型多出一位数，也都是一样的原理。